ACTIVIDAD 2

INVESTIGAR OTRAS APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Y PLANTEAR 2 PROBLEMAS DONDE PARA SU SOLUCION SE APLIQUE EL AREA BAJO LA CURVA, DAR LA SOLUCION E INTERPRETACION DE LA RESPUESTA

                                               AREAS DE FIGURAS PLANAS.

El concepto de integral de una función consiste precisamente en aproximar la función por funciones escalonadas; si consideramos una función y = f(x) no negativa en un intervalo [aba], la integral inferior es el limite de la suma de las áreas de los rectángulos inscritos en la región limitada por la curva y = f(x), el eje OX y las rectas x = a y x = b, y la integral superior es el limite de las áreas de los rectángulos circunscritos a dicha región. De este modo podemos definir el área de dicha región como la integral de la función f en el intervalo [a,b]. En general, Dada una función y = f(x) integrable en un intervalo [a,b], el área de la región limitada por la función, el eje OX y las rectas x = a y x = b se define como

       

 El valor absoluto de la función es debido a que en los intervalos donde la función es negativa, la integral también es negativa y su valor es opuesto al del área correspondiente. En la practica, para eliminar el valor absoluto en el integrando, debemos determinar los intervalos de [a,b] donde la función es positiva o negativa y descomponer la integral en suma de integrales correspondientes a cada uno de los intervalos indicados colocando el signo adecuado. Así, en la figura adjunta, el área se expresa como

En particular, si la función esta expresada en forma paramétrica x = x(t), y = y(t), el area viene expresada como

 donde a = x(t0), b = x(t1). Regiones más generales que las descritas son aquellas que están imitadas por dos funciones y = f(x), y = g(x) entre dos rectas verticales x = a y x = b. En este caso el área se expresa mediante la formula

.

En el ejemplo de la figura, el área se descompone como:

Si la región esta limitada por dos curvas y = f(x), y = g(x) entre dos rectas horizontales y = c e y = d, consideramos las funciones inversas e integramos respecto a la variable y. El área se expresa entonces como

En el ejemplo de la figura, dicha integral se descompone como

 VOLUMENES DE SOLIDOS DE SECCION CONOCIDA.

Supongamos que un solido esta limitado por dos planos paralelos entre sı y perpendiculares a un eje fijo t en los puntos t = t0 y t = t1. Supongamos además que las secciones producidas en el solido por planos perpendiculares al eje t son regiones cuya área se puede escribir como una función A(t) integrable en [t0,t1]. Entonces el volumen de dicho solido verifica la formula de Cavalieri

En particular, si las secciones son perpendiculares al eje OX entre los valores

                                      


Así, en el ejemplo de la figura tenemos una pirámide de base b y altura h y las secciones perpendiculares al eje OX son cuadrados. Para calcular el lado de un cuadrado genérico escribimos la ecuación de la recta que une el origen con el punto (h,b) y calculamos su valor en el punto de abscisa x. Resulta pues y = bx/h con lo que la función a integrar será el área del cuadrado A(x) = (2y)2 = (2bx/h)2 y el volumen es

LONGITUD DE CURVAS PLANAS.

Dada la función y = f(x), definida en un intervalo [a,b], a cada partición  P ={x0 = a,x1,...,xn−1,xn = b} de [a,b] le corresponde una poligonal de vértices Pk = (xk,f(xk)), k = 0,1,...,n, como indica la figura.

La longitud del arco de la curva entre los puntos A y B de abscisas x = a y x = b se define como el supremo de los perímetros de todas las poligonales. Si es finito, se dice que la curva es rectificable; si no, la curva no es rectificable (tiene longitud infinita). El resultado fundamental que aplicaremos en esta sección es el siguiente: Teorema. Si una función y = f(x) tiene derivada de primer orden continua en [a,b], entonces es rectificable y la longitud del arco viene dada por la formula

Si la función viene expresada en coordenadas paramétricas x = x(t), y = y(t), la formula queda de la forma

siendo t0 y t1 los parámetros correspondientes a los puntos inicial y final de la curva. En la mayoría de los casos no es posible encontrar expresiones explicitas de la longitud de un arco de curva. Por ello se deben crear nuevas funciones, como es el caso de las integrales elípticas(que expresan longitudes de arcos de elipses), o utilizar métodos aproximados para calcular arcos de curva

AREAS BAJO CURVA 

Definición: Sí f  es continua y no negativa en un intervalo cerrado , el área de la región limitada por la gráfica de f , el eje x y las rectas verticales [b ,a]  x = a   y   x =b   viene dada por: 

Observemos la siguiente 

En ella se ve que f es una función continua, positiva (por encima del eje x), y la región R está limitada (acotada) por las rectas verticales x=a  y x=b 

Podemos hallar el área de la región R por medio de una integral definida aplicando la definición anterior. 

Como lo hemos planeado, daremos algunos ejemplos para ver como se puede aplicar la definición.

EJEMPLOS AREA BAJO LA CURVA

EJEMPLO 1:

Hallar el área de la región acotada por la curva f(x)=4 y las rectas x=-3

x=2

SOLUCIÓN:

1.TRAZO DE LA REGIÓN: En primera medida, se debe trazar la región que se pide. Aquí f es positiva y continua. Abajase muestra la región establecida

2.PLANTEAMIENTO DE LA INTEGRAL:

Aplicando la definición anterior, el área de la región R viene dado por:

3.EVALUACIÓN DE LA INTEGRAL: Ahora procedemos a evaluar la integral.

Luego el área de la región es 20 u
Obsérvese que esta región es rectangular, luego se puede encontrar su área usando los métodos de la geometría. Desde este punto de vista se puede hacer lo siguiente:

No es sorprendente que se hayan obtenido resultados equivalentes.

EJEMPLO 2:

Hallemos el área de la región acotada por la curva f(x)=x3+ x acotada [-5,5]

SOLUCION:

1.TRAZO DE LA REGIÓN: Presentamos el trazo de la curva junto con el intervalo de acotación sobre el eje x, por supuesto.

2.PLANTAMIENTO DE LA INTEGRAL:

Si se observa la fig 3, las rectas x=-5 y x=5 dividen la región en dos partes; A1 y A2 respectivamente. también se puede ver que el intervalo [-5,5] se puede dividir es dos, así:[-5,5] y [0,5]. luego el área de la región (coloreada de verde) viene dada por:

3.EVALUCION DE LA INTEGRAL

: Ahora procedemos a evaluar la integral de la siguiente forma:

Luego el área de la región sombreada es de: 

Enviado por: Keefer Quintana, Ximena Rivera

ACTIVIDAD DETONANTE III

Un  carro se mueve en línea recta a una velocidad constante de 80km/h,
¿Cuál es la distancia que recorrió en 3 horas?
Juan Manuel dice: si se realiza la grafica de la velocidad en función del tiempo, la distancia recorrida es el área bajo la grafica:

¿Tiene razón Juan Manuel? Explica por que?
     R: Esta bien ya que la velocidad es constante, por la formula es d=v*t
          d=(80km/h)(3h)= 240 km
         y la parte sombreada que muestra la grafica son 24 cuadritos que vendría siendo el área

Ahora el carro se mueve a una velocidad variable. Si medimos su velocidad cada 2 minutos, los resultados a continuación:

 

¿Podrías estimar la distancia recorrida por el carro en los 20 minutos?

    R:Si

¿Mediante que método?

 R:El método que se podría utilizar para estimar la distancia son las sumas de Riemann. Aunque solo se podrían sumar los minutos y te da como resultado los km/h que recorrió el carro.

   

Enviado por: Keefer Quintana, Ximena Rivera

    

VIDEO DE INTEGRAL DEFINIDA 2do parcial

SIGNIFICADO GEOMETRICO Y FISICO DE LA CONSTANTE DE INTEGRACION 1 er parcial

INVESTIGA EL SIGNIFICADO GEOMETRICO Y FISICO DE LA CONTANTE DE INTEGRACION. RELIZA LAS GRAFICAS DE LA ANTIDERIVADA DE LA FUNCION DEL EJEMPLO CON DIFERENTES CONSTANTES DE INTEGRACION, EN UN SOLO PLANO CARTESIANO Y UBICA DONDE SE LOCALIZA ESAS CONSTANTES DE INTEGRACION.

En cálculo, la integral indefinida de una función dada (es decir, el conjunto de todas las primitivas de la función) se escribe siempre con  la constante de integración.
Esta constante expresa  a la construcción de primitivas. Si una función f está definida en un intervalo y F es una primitiva de f, entonces el conjunto de todas las primitivas de f viene dado por las funciones F (x) +C, siendo C, una constante arbitraria.

La derivada de cualquier función constante es cero. Una vez que se ha encontrado una primitiva F, si se le suma o resta una constante C, se obtiene otra primitiva. Esto ocurre porque (F + C) ‘ = F ‘ + C ‘ = F ‘ + 0 = F ‘. La constante es una manera de expresar que cada función tiene un número infinito de primitivas diferentes.

Para interpretar el significado de la constante de integración se puede observar el hecho de que la función f (x) es la derivada de otra función F (x), es decir, que para cada valor de x, f (x) le asigna la pendiente de F (x). Si se dibuja en cada punto (x, y) del plano cartesiano un pequeño segmento con pendiente f (x), se obtiene un campo vectorial como el que se representa en la figura de la derecha. Entonces el problema de encontrar una función F (x) tal que su derivada sea la función f (x) se convierte en el problema de encontrar una función de la gráfica de la cual, en todos los puntos sea tangente a los vectores del campo. Al variar la constante de integración se obtienen diversas funciones que cumplen esta condición y son traslaciones verticales unas de otras.

ENVIADO POR: RIVERA SANCHEZ XIMENA 

SIGNIFICADO GEOMETRICO DE LA CONSTANTE DE INTEGRACIÓN

Esto significa que todas las funciones que coincidan en su estructura serían primitivas individuales, pero en conjunto forman una integral indefinida:

Es una familia de curvas con la misma grafica,  según el valor que tenga la constante de integración c.

Será una gráfica paralela a las demás, que cortará el eje de las Y en el valor exacto de c.

ENVIADO POR: QUINTANA MARTINEZ KEEFER 

SIGNIFICADO FISICO DE LA CONSTANTE DE INTEGRACIÓN

Así como se vio que matemáticamente la constante arbitraria c mientras no esté calculada nos muestra una familia de grafica paralelas, físicamente también tienen un significado.

Dependiendo de la situación de la que se trate, la constante de integración puede tener diferentes valores y significados.

Por ejemplo, si el problema que nos plantea refiere a velocidad, al integrarla se obtiene una función que indica la posición del móvil estudiado. La constante de integración indicaría la posición que tenía ese móvil en el momento en que comienza la observación. De la misma forma, al integrar la aceleración se obtiene la velocidad; la constante indicaría entonces la velocidad inicial.

Así, cuando se hable de problemas de economía, en el caso de una función de costos, el valor (c) se refiere a los costos fijos, es decir, los que no cambian y que deben cubrirse haya o no producción

ENVIADO POR: PEREZ AZUARA MARINA

ENVIADO POR: SILVA CASTRO BRISSA VERONICA