ACTIVIDAD DETONANTE II 1 er parcial

UN FISICO QUE CONOCE LA  VELOCIDAD DE UNA PARTICULA  PODRIA DESEAR CONOCER SU POSICION EN UN INSTANTE DADO. UN INGENIERO QUE PUEDE MEDIR LA RAZON VARIABLE A LA CUAL SE FUGA EL AGUA DE UN TANQUE QUIERE CONOCER LA CANTIDAD QUE SE HA FUGADO DURANTE CIERTO PERIODO. UN BILOGO QUE CONCE LA RAZON A LA QUE CRECE UNA POBLACION DE BACTERIAS PUEDE INTERESARSE EN DEDUCIR EL TAMAÑO DE LA POBLACION DE ALGUN MOMENTO FUTURO. EN CADA CASO, EL PROBLEMA ES HALLAR UNA FUNCION DE CANTIDAD CONOCIENDO  LA VELOCIDAD; UNA FUNCION DE CANTIDAD CONOCIENDO LA RAZON DE LA FUGA, UNA FUNCION DE CANTIDAD DE POBLADORES SABIENDO LA RAZON A LA QUE CRECE L POBLACION.

A) INVESTIGA CUAL ES EL METODO PARA RESOLVER CADA UNO DE LOS CASOS
B) INVESTIGA COMO SE OBTIENE UNA FUNCION CUYA DERIVADA SEA UNA FUNCION CONOCIDA

A)
En cada caso, el problema es el mismo, debemos hallar una función F cuya derivada es en la función conocida f . Si tal función F existe, se llama una anti derivada de f .
Una función F recibe el nombre de anti derivada o primitiva de la función f en un intervalo I si F es continua en I y F′(x) = f (x) para todo x ∈ I, salvo a lo sumo en un numero finito de puntos

Desplazamiento de un objeto que se mueve sobre el eje x graficado en función del tiempo. La cantidad ∆x/∆t representa la velocidad media en el intervalo de tiempo ∆t, mientras que el límite de esta cantidad cuando ∆t tiende a cero.
La velocidad media durante un intervalo de tiempo pude obtenerse determinado la distancia que recorre la partícula en ese intervalo, y observando que


determinado la distancia que recorre la partícula en ese intervalo, y observando que

 

derivada dx/dt, representa la velocidad instantánea en el tiempo t.

Un método que se puede utilizar es la derivada

la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente.

Es decir lo que tu quieras obtener al derivarlo sera la respuesta en un instante y variara, dependiendo de lo que se haya utilizado desde un principio al derivar.

Crecimiento de la población  con respecto al tiempo.
dμ/dt

B)

Mediante una integral indefinida, si la integral es definida solo se obtiene un número que equivale a un área, para obtener una función la integral debe ser indefinida.

“dada una función obtener su derivada”. Las aplicaciones importantes del Cálculo Integral están relacionadas con el problema inverso: “dada la derivada de una función hallar la función original”

Cuando se realiza este proceso inverso la función que se obtiene tomará el nombre de antiderivada porque se obtuvo revirtiendo el proceso de la derivación.

                            F(X)---------DERIVACION--------> f(X)
                                    <-------ANTIDERIVADA------      

al derivar una función que incluye constantes que suman o restan, éstas siempre “desaparecen” en el proceso porque la derivada de una constante es igual a cero

Si F(x)  es una antiderivada de f(x), también lo es F(x)+c para cualquier elección de la constante C

  C)CUALES SON LAS APLICACIONES DE LA ANTIDERIVADA, EN FISICA, QUIMICA, CIENCIAS SOCIALES, BIOLOGIA, GEOGRAFIA OTRAS AREAS

En Física, se usa para modelar movimiento en el espacio, para calcular trabajo, fuerza y potencia cuando los valores del problema varían, etc. En general, muchísmos conceptos más de física pueden ser modelados con derivadas.
En electrónica, se usa para modelar la corriente en circuitos eléctricos, ya que el voltaje es la derivada de la corriente.
En química, se usa para calcular la vida media (periodo de descomposición) de los isótopos radiactivos.)
En economía, se usa para expresar el costo marginal de un bien, que el como el costo untiario. Además puede usarse para calcular equilibrios en modelos económicos.
En meteorología, pueden usarse las ecuaciones diferenciales (una extensión de las derivadas) para predecir sistemas caóticos.
En Probabilidad, se usan para caracterizar funciones de probabilidad, así como para desarrollar estudios en dichas funciones. .




(Actividad 4 pag 24 1 er parcial) 

     

                                         

APLICACIONES DE LAS DIFERENCIALES EN APROXIMACIONES Y ESTIMACIONES EN DISTINTAS SITUACIONES 1 er parcial

 REALIZA UN REPORTE DONDE SE SEÑALE LAS APLICACIONES DE DIFERENCIALES EN APROXIMACIONES Y ESTIMACIONES EN DISTINTAS SITUACIONES RELACIONADAS DE FISICA, MATEMATICAS, GEOGRAFIA Y QUIMICA EN SU BLOG

Aproximaciones y estimaciones en química:
Un tanque está lleno con 10 galones de agua salada en la cual están disueltas 5lb de sal. Si el agua salada está conteniendo 3lb de sal por gal que entra al tanque a 2 gal por minuto y la mezcla bien agitada sale a la misma tasa.

- Encontrar la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo.

- ¿Cuánta sal está presente después de 10min?

- ¿Cuánta sal está presente después de un tiempo largo?

Formulación Matemática:

Sea A el número de libras de sal en el tanque después de t minutos.
Luego dA / dt es la tasa de cambio de esta cantidad de sal en el tiempo y está dada por:

dA / dt = tasa de cantidad ganada - tasa de cantidad perdida

Puesto que entran 2gal/min.

Conteniendo 3lb/gal de sal tenemos que la cantidad de sal que entra por minuto es:

2gal / min. x 3 lb./gal = 6 lb./min.

Lo cual es la tasa a la cual se gana sal.
Puesto que siempre hay 10 gal en el tanque y debido a que hay A libras de sal en cualquier tiempo t, la concentración de sal al tiempo t es A libras por 10gal.

La cantidad de sal que sale por minuto es igual a:

Alb / 10gal x 2gal / min. = 2A lb. / 10min. = A lb./ 5min.

De: (dA / dt),(6 lb./min.) y (A lb./5min) tenemos que: dA / dt = 6 - A/5.

Puesto que inicialmente hay 5lb.

De sal, tenemos que A = 5 en t = 0.

Así, la formulación matemática completa es:

dA / dt =6 - A/5 A = 5 en t = 0

Solución:

Usando el método de separación de variables, tenemos:

" (dA / 30 - A) = " (dt / 5) ó - ln (30 - A) = t / 5 + c

Puesto que A = 5 en t = 0, c = - ln 25.

Así ln (30 - A) = t/5 - ln 25 = ln[(30 - A)/25] = A = 30 - 25 e

Que es la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo t.

En matemáticas una aproximación:

Estimación de una suma por redondeo.

Una forma rápida de estimar la suma de dos números es redondeando cada número y luego sumando los números redondeados. Probablemente este no sea el resultado exacto pero puede ser, para algunos propósitos, lo suficientemente cercano.

- Cómo estimar una suma por redondeo.

- Redondea cada término que vas a sumar.
- Suma los números redondeados.
- Algunas veces una estimación se puede mejorar. Si estimamos la suma de 345 + 440, redondearíamos 345 en 300 y 440 en 400. La estimación sería 300 + 400 ó 700. Ambos números fueron redondeados para abajo. El número 345 fué redondeado hacia abajo en 45 y 440 fué redondeado hacia abajo en 40. La suma de 45 + 40 da 85, que se redondea en 100. Entonces una mejor estimación sería 800. La suma real es 785.


matemáticas:

es una aproximación de una función cualquiera usando una transformación lineal. Por ejemplo, dada una función diferenciable f de una variable real, se puede expresar (generalizada en el Teorema de Taylor) de la siguiente manera:

${\displaystyle f(x)=f(a)+f\ '(a)(x-a)+o(x)}$

donde ${\displaystyle o(x)}$ es una función que representa el error usando la notación de Landau (Así, ${\displaystyle o(x)/x}$ tiende a 0 cuando ${\displaystyle x}$ tiende a ${\displaystyle a}$). La aproximación se obtiene al despreciar la suma de esta función error.

${\displaystyle f(x)\approx f(a)+f\ '(a)(x-a)}$

Lo cual es cierto para los valores de x cercanos a a. La expresión derecha es la de la recta tangente a la gráfica de f en a. Por esta razón también se llama aproximación de la recta tangente

Ejemplo

1.Para encontrar la aproximación lineal de ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{25}}}$ se hace lo siguiente:

1. Considérese la función ${\displaystyle f(x)=x^{1/3}.\,}$
2. Se tiene la derivada:

   ${\displaystyle f\ '(x)=1/3*x^{-2/3}.}$

3. Según lo ya visto,

   ${\displaystyle f(25)\approx f(27)+f\ '(27)(25-27)=3-2/27.}$

4. El resultado, 2.926, está razonablemente cerca del valor que puede dar una calculadora 2.924…

(actividad 3 pag 23 1er parcial) XIMENA RIVERA Y KEEFER QUINTANA 

PROBLEMAS

La función de ingreso marginal para cierta mercancía es  de R’(x)=-6x + 768, donde x representa el número de unidades que se producen al mes, determina la ecuación del ingreso R(x); calcula el ingreso de la compañía si se vende 150 artículos.
RESOLUCIÓN:

R’(x)=-6x + 768
R´(x)=  +  768x
R’(x)=-3x2+ 768 x      

ECUACIÓN

-3(150)2 + 768(150)= -67500 + 115200 = 47;700


KEEFER QUINTANA MARTINEZ  Y RIVERA SANCHEZ XIMENA

ACTIVIDAD DETONANTE IV

EN EL LUGAR DONDE VIVES SEGURAMENTE EXISTEN CONSTRUCCIONES DE DIVERSOS TIPOS U OBJETOS CON FORMAS COMPLEJAS, COMO: LA PUERTA CAPITAL, EMIRATO DE ABU DHABI, CAPITAL Y SEGUNDA CIUDAD MAS POBLADA DE LOS EMIRATOS ARABES UNIDOS.

Este en uno  de los edificios mas largos de la ciudad, y fue proclamada por el libro record Guinness como "la torre mas inclinada del mundo hecha por el hombre". la torre se inclina a 18  grados, 4 veces mas que la torre de pisa.¿como se puede obtener su volumen.?

Para calcular el volumen de la torre sería por el método de discos y lo haríamos por partes es decir dividir la torre por partes para sacar el volumen de cada espacio y al finar sumarlos ya que la torre tiene dimensiones diferentes por partes. Después ubicaríamos cada curva y recta en el plano cartesiano para empezar el método sabiendo los valores después partiremos un cacho de la parte que partimos como si fuese un disco y esa es la que analizaremos y esa cortaría el eje x ,también será la altura  y esa seria dx ,al sacar el volumen de este disco se llamara dv y ahí obtendremos una expresión  para el disco que sería la del volumen de la figura y sustituimos valores y por último la integramos con los valores que tienda la partición con el tema de integral indefinida y lo hacemos lo mismo con cada partición de la torre y al final la sumamos.

El volumen de solidos de revolución por tramos de curvas de funciones e llama método de disco. investiga en que consiste ese método.

enviado por... quintana martinez keefer y rivera sanchez ximena

ACTIVIDAD 3

REALIZAR UNA INVESTIGACION QUE DESTAQUE LA IMPORTANCIA DE LAS DIFERENTES FUNCIONES QUE TIENE EL CALCULO INTEGRAL COMO UNA HERRAMIENTA APLICABLE EN UNA SITUACION DETERMINADA POR EJEMPLO PARA CALCULAR EL AREA DE UN CIRCULO DE RADIO R DE UNA PIEZA ARQUEOLOGICA

El calculo es usado en cada rama de las ciencias físicas y de informática, estadísticas, ingeniería, economía, negocios, etc  y en áreas donde un problema puede ser modelado matemáticamente y una solución optima sea deseada.

MEDICINA: es usado para encontrar el ángulo de ramificación optimo de vaso sanguíneo para maximizar el flujo.

QUIMICA: se usa el calculo para determinar los ritmos de las reacciones y el decaimiento radioactivo.

FISICA:  hace un particular uso del calculo; todos los conceptos n la mecánica clásica están interrelacionados a través del calculo. la masa de un objeto de conocida densidad,el momento de inercia  de los objetos, así como de la energía total de un objeto dentro  de un campo conservativo pueden ser encontrados por el uso del calculo. en los sub-campos de electricidad y magnetismo, el calculo puede ser usado para encontrar el flujo total de los campos electromagnéticos

ESTADISTICA: para calculo de probabilidades, existen funciones de distribución de probabilidad y también funciones de densidad  de probabilidad. estas funciones son útiles para calcular seguros de vida, daños, tasa de interés, etc, de manera resumida, cualquier tipo de riesg que se comporte de forma continua en el tiempo

CIENCIAS EXACTAS: en temas como la velocidad de una partícula en un  momento determinado, la pendiente de la recta tangente a un grafica en un punto dado a esta

INGENIERIA: se puede crear un modelo de ecuaciones diferenciales para proponer un modelo de crecimiento poblacional, crecimiento de activos de empresas, comportamiento de partes mecánicas de automóvil, entre otras

GEOMETRIA ANALITICA: el estudio de los gráficos de funciones, el calculo es usado para encontrar puntos máximos y minimizar cosas, como el reducir costos en una empresa que se dedica a empacar productos X, pero se descubre que se puede seguir empacando la misma cantidad de X con cajas mas pequeñas, por ejemplo:
para el análisis de regresión, serie de tiempo, etc. la regresión y las series de tiempo son modelos predictivos. por ejemplo, se puede crea un modelo matemático para predecir que una empresa Y va vender a P pesos si gasta G pesos en publicidad E calculo permite determinar e beneficio máximo por medio  de costo marginal y del ingreso marginal

INFORMATICA Y COMPUTACION: en la fabricación de chips; miniaturización de componentes internos; administración de las compuertas de los circuitos integrados: comprensión y digitalización de imágenes, sonidos y videos; investigación sobre inteligencias artificiales en  simulaciones donde se emulan comportamientos de sistemas mediante la resolución de sistema de ecuaciones.



Ejemplo: una pila normal para un mp3 funcionando diariamente tiene aproximadamente 1 semana de vida, entonces para aplicar el calculo diferencial tendremos que ver cuantas pilas nos gastaríamos en 1 año y para esto multiplicamos 1 pila que equivale a 1 semana por 48 semanas que tiene un año y el resultado es 48 pilas que un mp3 gastaría al año funcionando diariamente 

Enviado por: Keefer Quintana, Ximena Rivera

ACTIVIDAD 2

INVESTIGAR OTRAS APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Y PLANTEAR 2 PROBLEMAS DONDE PARA SU SOLUCION SE APLIQUE EL AREA BAJO LA CURVA, DAR LA SOLUCION E INTERPRETACION DE LA RESPUESTA

                                               AREAS DE FIGURAS PLANAS.

El concepto de integral de una función consiste precisamente en aproximar la función por funciones escalonadas; si consideramos una función y = f(x) no negativa en un intervalo [aba], la integral inferior es el limite de la suma de las áreas de los rectángulos inscritos en la región limitada por la curva y = f(x), el eje OX y las rectas x = a y x = b, y la integral superior es el limite de las áreas de los rectángulos circunscritos a dicha región. De este modo podemos definir el área de dicha región como la integral de la función f en el intervalo [a,b]. En general, Dada una función y = f(x) integrable en un intervalo [a,b], el área de la región limitada por la función, el eje OX y las rectas x = a y x = b se define como

       

 El valor absoluto de la función es debido a que en los intervalos donde la función es negativa, la integral también es negativa y su valor es opuesto al del área correspondiente. En la practica, para eliminar el valor absoluto en el integrando, debemos determinar los intervalos de [a,b] donde la función es positiva o negativa y descomponer la integral en suma de integrales correspondientes a cada uno de los intervalos indicados colocando el signo adecuado. Así, en la figura adjunta, el área se expresa como

En particular, si la función esta expresada en forma paramétrica x = x(t), y = y(t), el area viene expresada como

 donde a = x(t0), b = x(t1). Regiones más generales que las descritas son aquellas que están imitadas por dos funciones y = f(x), y = g(x) entre dos rectas verticales x = a y x = b. En este caso el área se expresa mediante la formula

.

En el ejemplo de la figura, el área se descompone como:

Si la región esta limitada por dos curvas y = f(x), y = g(x) entre dos rectas horizontales y = c e y = d, consideramos las funciones inversas e integramos respecto a la variable y. El área se expresa entonces como

En el ejemplo de la figura, dicha integral se descompone como

 VOLUMENES DE SOLIDOS DE SECCION CONOCIDA.

Supongamos que un solido esta limitado por dos planos paralelos entre sı y perpendiculares a un eje fijo t en los puntos t = t0 y t = t1. Supongamos además que las secciones producidas en el solido por planos perpendiculares al eje t son regiones cuya área se puede escribir como una función A(t) integrable en [t0,t1]. Entonces el volumen de dicho solido verifica la formula de Cavalieri

En particular, si las secciones son perpendiculares al eje OX entre los valores

                                      


Así, en el ejemplo de la figura tenemos una pirámide de base b y altura h y las secciones perpendiculares al eje OX son cuadrados. Para calcular el lado de un cuadrado genérico escribimos la ecuación de la recta que une el origen con el punto (h,b) y calculamos su valor en el punto de abscisa x. Resulta pues y = bx/h con lo que la función a integrar será el área del cuadrado A(x) = (2y)2 = (2bx/h)2 y el volumen es

LONGITUD DE CURVAS PLANAS.

Dada la función y = f(x), definida en un intervalo [a,b], a cada partición  P ={x0 = a,x1,...,xn−1,xn = b} de [a,b] le corresponde una poligonal de vértices Pk = (xk,f(xk)), k = 0,1,...,n, como indica la figura.

La longitud del arco de la curva entre los puntos A y B de abscisas x = a y x = b se define como el supremo de los perímetros de todas las poligonales. Si es finito, se dice que la curva es rectificable; si no, la curva no es rectificable (tiene longitud infinita). El resultado fundamental que aplicaremos en esta sección es el siguiente: Teorema. Si una función y = f(x) tiene derivada de primer orden continua en [a,b], entonces es rectificable y la longitud del arco viene dada por la formula

Si la función viene expresada en coordenadas paramétricas x = x(t), y = y(t), la formula queda de la forma

siendo t0 y t1 los parámetros correspondientes a los puntos inicial y final de la curva. En la mayoría de los casos no es posible encontrar expresiones explicitas de la longitud de un arco de curva. Por ello se deben crear nuevas funciones, como es el caso de las integrales elípticas(que expresan longitudes de arcos de elipses), o utilizar métodos aproximados para calcular arcos de curva

AREAS BAJO CURVA 

Definición: Sí f  es continua y no negativa en un intervalo cerrado , el área de la región limitada por la gráfica de f , el eje x y las rectas verticales [b ,a]  x = a   y   x =b   viene dada por: 

Observemos la siguiente 

En ella se ve que f es una función continua, positiva (por encima del eje x), y la región R está limitada (acotada) por las rectas verticales x=a  y x=b 

Podemos hallar el área de la región R por medio de una integral definida aplicando la definición anterior. 

Como lo hemos planeado, daremos algunos ejemplos para ver como se puede aplicar la definición.

EJEMPLOS AREA BAJO LA CURVA

EJEMPLO 1:

Hallar el área de la región acotada por la curva f(x)=4 y las rectas x=-3

x=2

SOLUCIÓN:

1.TRAZO DE LA REGIÓN: En primera medida, se debe trazar la región que se pide. Aquí f es positiva y continua. Abajase muestra la región establecida

2.PLANTEAMIENTO DE LA INTEGRAL:

Aplicando la definición anterior, el área de la región R viene dado por:

3.EVALUACIÓN DE LA INTEGRAL: Ahora procedemos a evaluar la integral.

Luego el área de la región es 20 u
Obsérvese que esta región es rectangular, luego se puede encontrar su área usando los métodos de la geometría. Desde este punto de vista se puede hacer lo siguiente:

No es sorprendente que se hayan obtenido resultados equivalentes.

EJEMPLO 2:

Hallemos el área de la región acotada por la curva f(x)=x3+ x acotada [-5,5]

SOLUCION:

1.TRAZO DE LA REGIÓN: Presentamos el trazo de la curva junto con el intervalo de acotación sobre el eje x, por supuesto.

2.PLANTAMIENTO DE LA INTEGRAL:

Si se observa la fig 3, las rectas x=-5 y x=5 dividen la región en dos partes; A1 y A2 respectivamente. también se puede ver que el intervalo [-5,5] se puede dividir es dos, así:[-5,5] y [0,5]. luego el área de la región (coloreada de verde) viene dada por:

3.EVALUCION DE LA INTEGRAL

: Ahora procedemos a evaluar la integral de la siguiente forma:

Luego el área de la región sombreada es de: 

Enviado por: Keefer Quintana, Ximena Rivera

ACTIVIDAD DETONANTE III

Un  carro se mueve en línea recta a una velocidad constante de 80km/h,
¿Cuál es la distancia que recorrió en 3 horas?
Juan Manuel dice: si se realiza la grafica de la velocidad en función del tiempo, la distancia recorrida es el área bajo la grafica:

¿Tiene razón Juan Manuel? Explica por que?
     R: Esta bien ya que la velocidad es constante, por la formula es d=v*t
          d=(80km/h)(3h)= 240 km
         y la parte sombreada que muestra la grafica son 24 cuadritos que vendría siendo el área

Ahora el carro se mueve a una velocidad variable. Si medimos su velocidad cada 2 minutos, los resultados a continuación:

 

¿Podrías estimar la distancia recorrida por el carro en los 20 minutos?

    R:Si

¿Mediante que método?

 R:El método que se podría utilizar para estimar la distancia son las sumas de Riemann. Aunque solo se podrían sumar los minutos y te da como resultado los km/h que recorrió el carro.

   

Enviado por: Keefer Quintana, Ximena Rivera

    

VIDEO DE INTEGRAL DEFINIDA 2do parcial