Equipo 3 : ACTIVIDAD 2

INVESTIGAR OTRAS APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Y PLANTEAR 2 PROBLEMAS DONDE PARA SU SOLUCION SE APLIQUE EL AREA BAJO LA CURVA, DAR LA SOLUCION E INTERPRETACION DE LA RESPUESTA

AREAS DE FIGURAS PLANAS.

El concepto de integral de una función consiste precisamente en aproximar la función por funciones escalonadas; si consideramos una función y = f(x) no negativa en un intervalo [aba], la integral inferior es el limite de la suma de las áreas de los rectángulos inscritos en la región limitada por la curva y = f(x), el eje OX y las rectas x = a y x = b, y la integral superior es el limite de las áreas de los rectángulos circunscritos a dicha región. De este modo podemos definir el área de dicha región como la integral de la función f en el intervalo [a,b]. En general, Dada una función y = f(x) integrable en un intervalo [a,b], el área de la región limitada por la función, el eje OX y las rectas x = a y x = b se define como

El valor absoluto de la función es debido a que en los intervalos donde la función es negativa, la integral también es negativa y su valor es opuesto al del área correspondiente. En la practica, para eliminar el valor absoluto en el integrando, debemos determinar los intervalos de [a,b] donde la función es positiva o negativa y descomponer la integral en suma de integrales correspondientes a cada uno de los intervalos indicados colocando el signo adecuado. Así, en la ﬁgura adjunta, el área se expresa como

En particular, si la función esta expresada en forma paramétrica x = x(t), y = y(t), el area viene expresada como

donde a = x(t0), b = x(t1). Regiones más generales que las descritas son aquellas que están imitadas por dos funciones y = f(x), y = g(x) entre dos rectas verticales x = a y x = b. En este caso el área se expresa mediante la formula

.

En el ejemplo de la ﬁgura, el área se descompone como:

Si la región esta limitada por dos curvas y = f(x), y = g(x) entre dos rectas horizontales y = c e y = d, consideramos las funciones inversas e integramos respecto a la variable y. El área se expresa entonces como

En el ejemplo de la ﬁgura, dicha integral se descompone como

VOLUMENES DE SOLIDOS DE SECCION CONOCIDA.

Supongamos que un solido esta limitado por dos planos paralelos entre sı y perpendiculares a un eje ﬁjo t en los puntos t = t0 y t = t1. Supongamos además que las secciones producidas en el solido por planos perpendiculares al eje t son regiones cuya área se puede escribir como una función A(t) integrable en [t0,t1]. Entonces el volumen de dicho solido veriﬁca la formula de Cavalieri

En particular, si las secciones son perpendiculares al eje OX entre los valores

Así, en el ejemplo de la ﬁgura tenemos una pirámide de base b y altura h y las secciones perpendiculares al eje OX son cuadrados. Para calcular el lado de un cuadrado genérico escribimos la ecuación de la recta que une el origen con el punto (h,b) y calculamos su valor en el punto de abscisa x. Resulta pues y = bx/h con lo que la función a integrar será el área del cuadrado A(x) = (2y)2 = (2bx/h)2 y el volumen es

LONGITUD DE CURVAS PLANAS.

Dada la función y = f(x), deﬁnida en un intervalo [a,b], a cada partición P ={x0 = a,x1,...,xn−1,xn = b} de [a,b] le corresponde una poligonal de vértices Pk = (xk,f(xk)), k = 0,1,...,n, como indica la ﬁgura.

La longitud del arco de la curva entre los puntos A y B de abscisas x = a y x = b se deﬁne como el supremo de los perímetros de todas las poligonales. Si es ﬁnito, se dice que la curva es rectiﬁcable; si no, la curva no es rectiﬁcable (tiene longitud inﬁnita). El resultado fundamental que aplicaremos en esta sección es el siguiente: Teorema. Si una función y = f(x) tiene derivada de primer orden continua en [a,b], entonces es rectiﬁcable y la longitud del arco viene dada por la formula

Si la función viene expresada en coordenadas paramétricas x = x(t), y = y(t), la formula queda de la forma

siendo t0 y t1 los parámetros correspondientes a los puntos inicial y ﬁnal de la curva. En la mayoría de los casos no es posible encontrar expresiones explicitas de la longitud de un arco de curva. Por ello se deben crear nuevas funciones, como es el caso de las integrales elípticas(que expresan longitudes de arcos de elipses), o utilizar métodos aproximados para calcular arcos de curva

AREAS BAJO CURVA

Definición: Sí f es continua y no negativa en un intervalo cerrado , el área de la región limitada por la gráfica de f , el eje x y las rectas verticales [b ,a] x = a y x =b viene dada por:

Observemos la siguiente

En ella se ve que f es una función continua, positiva (por encima del eje x), y la región R está limitada (acotada) por las rectas verticales x=a y x=b

Podemos hallar el área de la región R por medio de una integral definida aplicando la definición anterior.

Como lo hemos planeado, daremos algunos ejemplos para ver como se puede aplicar la definición.

EJEMPLOS AREA BAJO LA CURVA

EJEMPLO 1:

Hallar el área de la región acotada por la curva f(x)=4 y las rectas x=-3

x=2

SOLUCIÓN:

1.TRAZO DE LA REGIÓN: En primera medida, se debe trazar la región que se pide. Aquí f es positiva y continua. Abajase muestra la región establecida

2.PLANTEAMIENTO DE LA INTEGRAL:

Aplicando la definición anterior, el área de la región R viene dado por:

3.EVALUACIÓN DE LA INTEGRAL: Ahora procedemos a evaluar la integral.

Luego el área de la región es 20 u
Obsérvese que esta región es rectangular, luego se puede encontrar su área usando los métodos de la geometría. Desde este punto de vista se puede hacer lo siguiente:

No es sorprendente que se hayan obtenido resultados equivalentes.

EJEMPLO 2:

Hallemos el área de la región acotada por la curva f(x)=x3+ x acotada [-5,5]

SOLUCION:

1.TRAZO DE LA REGIÓN: Presentamos el trazo de la curva junto con el intervalo de acotación sobre el eje x, por supuesto.

2.PLANTAMIENTO DE LA INTEGRAL:

Si se observa la fig 3, las rectas x=-5 y x=5 dividen la región en dos partes; A1 y A2 respectivamente. también se puede ver que el intervalo [-5,5] se puede dividir es dos, así:[-5,5] y [0,5]. luego el área de la región (coloreada de verde) viene dada por: