APLICACIONES DE LAS DIFERENCIALES EN APROXIMACIONES Y ESTIMACIONES EN DISTINTAS SITUACIONES 1 er parcial

 REALIZA UN REPORTE DONDE SE SEÑALE LAS APLICACIONES DE DIFERENCIALES EN APROXIMACIONES Y ESTIMACIONES EN DISTINTAS SITUACIONES RELACIONADAS DE FISICA, MATEMATICAS, GEOGRAFIA Y QUIMICA EN SU BLOG

Aproximaciones y estimaciones en química:
Un tanque está lleno con 10 galones de agua salada en la cual están disueltas 5lb de sal. Si el agua salada está conteniendo 3lb de sal por gal que entra al tanque a 2 gal por minuto y la mezcla bien agitada sale a la misma tasa.

- Encontrar la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo.

- ¿Cuánta sal está presente después de 10min?

- ¿Cuánta sal está presente después de un tiempo largo?

Formulación Matemática:

Sea A el número de libras de sal en el tanque después de t minutos.
Luego dA / dt es la tasa de cambio de esta cantidad de sal en el tiempo y está dada por:

dA / dt = tasa de cantidad ganada - tasa de cantidad perdida

Puesto que entran 2gal/min.

Conteniendo 3lb/gal de sal tenemos que la cantidad de sal que entra por minuto es:

2gal / min. x 3 lb./gal = 6 lb./min.

Lo cual es la tasa a la cual se gana sal.
Puesto que siempre hay 10 gal en el tanque y debido a que hay A libras de sal en cualquier tiempo t, la concentración de sal al tiempo t es A libras por 10gal.

La cantidad de sal que sale por minuto es igual a:

Alb / 10gal x 2gal / min. = 2A lb. / 10min. = A lb./ 5min.

De: (dA / dt),(6 lb./min.) y (A lb./5min) tenemos que: dA / dt = 6 - A/5.

Puesto que inicialmente hay 5lb.

De sal, tenemos que A = 5 en t = 0.

Así, la formulación matemática completa es:

dA / dt =6 - A/5 A = 5 en t = 0

Solución:

Usando el método de separación de variables, tenemos:

" (dA / 30 - A) = " (dt / 5) ó - ln (30 - A) = t / 5 + c

Puesto que A = 5 en t = 0, c = - ln 25.

Así ln (30 - A) = t/5 - ln 25 = ln[(30 - A)/25] = A = 30 - 25 e

Que es la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo t.

En matemáticas una aproximación:

Estimación de una suma por redondeo.

Una forma rápida de estimar la suma de dos números es redondeando cada número y luego sumando los números redondeados. Probablemente este no sea el resultado exacto pero puede ser, para algunos propósitos, lo suficientemente cercano.

- Cómo estimar una suma por redondeo.

- Redondea cada término que vas a sumar.
- Suma los números redondeados.
- Algunas veces una estimación se puede mejorar. Si estimamos la suma de 345 + 440, redondearíamos 345 en 300 y 440 en 400. La estimación sería 300 + 400 ó 700. Ambos números fueron redondeados para abajo. El número 345 fué redondeado hacia abajo en 45 y 440 fué redondeado hacia abajo en 40. La suma de 45 + 40 da 85, que se redondea en 100. Entonces una mejor estimación sería 800. La suma real es 785.


matemáticas:

es una aproximación de una función cualquiera usando una transformación lineal. Por ejemplo, dada una función diferenciable f de una variable real, se puede expresar (generalizada en el Teorema de Taylor) de la siguiente manera:

${\displaystyle f(x)=f(a)+f\ '(a)(x-a)+o(x)}$

donde ${\displaystyle o(x)}$ es una función que representa el error usando la notación de Landau (Así, ${\displaystyle o(x)/x}$ tiende a 0 cuando ${\displaystyle x}$ tiende a ${\displaystyle a}$). La aproximación se obtiene al despreciar la suma de esta función error.

${\displaystyle f(x)\approx f(a)+f\ '(a)(x-a)}$

Lo cual es cierto para los valores de x cercanos a a. La expresión derecha es la de la recta tangente a la gráfica de f en a. Por esta razón también se llama aproximación de la recta tangente

Ejemplo

1.Para encontrar la aproximación lineal de ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{25}}}$ se hace lo siguiente:

1. Considérese la función ${\displaystyle f(x)=x^{1/3}.\,}$
2. Se tiene la derivada:

   ${\displaystyle f\ '(x)=1/3*x^{-2/3}.}$

3. Según lo ya visto,

   ${\displaystyle f(25)\approx f(27)+f\ '(27)(25-27)=3-2/27.}$

4. El resultado, 2.926, está razonablemente cerca del valor que puede dar una calculadora 2.924…

(actividad 3 pag 23 1er parcial) XIMENA RIVERA Y KEEFER QUINTANA